Comment expliquer à des personnes extérieures un sujet que l’on a soi-même du mal à saisir ? C’est le défi auquel notre équipe de rédaction a été confrontée ce mois-ci. Nous tentons le coup et espérons avoir réussi.
Un grand merci à notre développeur Max, qui a élargi nos horizons avec la proposition de sujet « Le problème P versus NP »
Avant d’aborder ce thème particulier, nous souhaitons d’abord examiner de plus près la notion de « problème du millénaire ».
Les problèmes du millénaire désignent actuellement sept problèmes non résolus de mathématiques, listés en 2000 par le Clay Mathematics Institute (CMI) à Cambridge. L’institut a promis une récompense d’un million de dollars américains pour la résolution de chacun de ces problèmes, à condition qu’elle soit publiée dans une revue spécialisée.
La liste comprend les problèmes suivants :
- la preuve de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer issue de la théorie des nombres
- la preuve de la conjecture de Hodge issue de la géométrie algébrique
- Analyse de l’existence et de la régularité des solutions du problème de la valeur initiale des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles incompressibles
- la solution du problème P-NP de l’informatique
- la preuve de la conjecture de Poincaré en topologie
- la preuve de l’hypothèse de Riemann de la théorie des nombres
- l’exploration des équations de Yang-Mills
Un seul de ces problèmes, à savoir la preuve de la conjecture de Poincaré en topologie, a pu être résolu jusqu’à présent. Le mathématicien russe Grigori Iakovlevitch Perelman a pu prouver en 2002 que la conjecture était correcte. Après que trois équipes ont vérifié avec succès la solution, Perelman devait recevoir en 2010 la récompense promise, bien qu’il n’ait publié la solution que sur Internet. Perelman a cependant refusé l’argent et la distinction qui y était liée.
Examinons maintenant de plus près le problème P versus NP non résolu depuis des décennies en informatique. Il s’agit d’un problème dit de décision. La question qui se pose est de savoir si la classe des problèmes qui peuvent être résolus algorithmiquement avec un effort relativement faible (« polynomial time ») (la classe P) est identique à la classe des problèmes qui, bien que ne pouvant pas être résolus nécessairement avec un faible effort, peuvent au moins être vérifiés avec un effort raisonnable (« non-déterministe polynomial ») (la classe NP).
Pour illustrer le problème, on peut par exemple se représenter les « problèmes du sac à dos » en informatique. Imaginez que vous planifiez une randonnée et que vous devez préparer votre sac à dos. La question est la suivante : quels objets rentrent dans le sac à dos et combien de poids pouvez-vous encore emporter ? Vous pouvez facilement répondre à cette question en remplissant simplement le sac à dos et en vérifiant la quantité totale de poids. Le véritable défi consiste cependant à prédire quels objets vous devriez choisir pour obtenir le poids optimal. C’est un problème NP typique.
La question que pose donc le problème du millénaire P versus NP est la suivante : un ordinateur peut-il résoudre un problème NP rapidement et efficacement, ou ces problèmes sont-ils fondamentalement plus chronophages, même pour un ordinateur puissant ? La réponse à cette question pourrait révolutionner le monde de la technologie informatique.
S’il s’avère que P est égal à NP, ce serait une avancée décisive dans la résolution de nombreux problèmes difficiles, y compris l’optimisation de l’apprentissage automatique et de la cryptographie. Cela signifierait même que les secrets de la science et de la technologie pourraient être déchiffrés comme jamais auparavant et que notre monde pourrait être amélioré grâce à la puissance de calcul des ordinateurs.
D’un autre côté, répondre à la question que P n’est pas égal à NP signifierait qu’il existe une limite fondamentale au monde informatique. Certains problèmes sont tout simplement trop complexes pour qu’un ordinateur puisse les résoudre rapidement et efficacement.
C’est la raison pour laquelle le problème du millénaire P versus NP est si important et intéressant. C’est un défi qui met à l’épreuve les limites des mathématiques et de l’informatique et qui nous aide à élargir nos connaissances et à améliorer notre monde grâce à l’incroyable puissance des ordinateurs.
Comme nous le savons tous, les systèmes d’IA les plus divers conquièrent actuellement le marché. En particulier au vu du problème décrit, l’IA pourrait être la clé. Peut-être qu’un logiciel d’IA réussira à prouver l’hypothèse P égal NP. Ou l’un des prochains modèles d’IA lui-même pourrait être la preuve qu’un problème NP peut être résolu par un ordinateur puissant aussi rapidement et efficacement qu’un problème P.
