Wie erklärt man Außenstehenden eine Thematik, die der eigene Verstand kaum erfassen kann? Vor diese Herausforderung wurde unser Redaktionsteam diesen Monat gestellt. Wir wagen den Versuch und hoffen, es ist uns gelungen.

Vielen Dank an unseren Entwickler Max, der unseren Horizont mit dem Themenvorschlag „Das P versus NP Problem“ erweitert

Bevor wir zu diesem speziellen Thema vordringen, wollen wir zunächst einmal den Begriff „Millenniumproblem“ näher beleuchten.

Als Millenniumproblem werden aktuell sieben im Jahre 2000 vom Clay Mathematics Institute (CMI) in Camebridge aufgelistete ungelöste Probleme der Mathematik bezeichnet. Für die Lösung eines dieser Probleme hat das Institut ein Preisgeld von jeweils einer Million US-Dollar unter der Bedingung ihrer Veröffentlichung in einer Fachzeitschrift versprochen.

Die Liste umfasst diese Probleme:

1. der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer aus der Zahlentheorie

• der Beweis der Vermutung von Hodge aus der algebraischen Geometrie

• Analyse von Existenz und Regularität von Lösungen des Anfangswertproblems der dreidimensionalen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

• die Lösung des P-NP-Problems der Informatik

• der Beweis der Poincaré-Vermutung in der Topologie

• der Beweis der Riemannschen Vermutung der Zahlentheorie

• die Erforschung der Gleichungen von Yang-Mills

Nur eines dieser Probleme, nämlich der Beweis der Poincaré-Vermutung on der Topologie konnte bisher gelöst werden. Der russische Mathematiker Grigori Jakowletisch Perelman konnte im Jahre 2002 beweisen, dass die Vermutung zutrifft. Nachdem drei Teams die Lösung erfolgreich überprüft haben, sollte Perelman im Jahre 2010 das versprochene Preisgeld zugesprochen werden, obwohl er die Lösung lediglich im Internet publiziert hatte. Perelman lehnte das Geld und die damit verbundene Auszeichnung jedoch ab.

Schauen wir uns nun das seit Jahrzehnten ungelöste P versus NP Problem in der Informatik genauer an. Es handelt sich hierbei um ein sogenanntes Entscheidungsproblem. Die Frage, die sich stellt, ist, ob die Klasse der Probleme, die mit einem relativ geringen Aufwand („polynomial time“) algorithmisch gelöst werden können (die Klasse P), mit der Klasse der Probleme gleichzusetzen ist, die zwar nicht unbedingt mit geringem Aufwand, aber zumindest mit einem vernünftigen Aufwand („nicht-deterministisch polynomiell“) überprüft werden können (die Klasse NP).

Um das Problem zu veranschaulichen, kann man sich zum Beispiel die sogenannten „Knapsack-Probleme“ in der Informatik vor Augen führen. Stellen Sie sich vor, Sie planen eine Wanderung und müssen Ihren Rucksack packen. Die Frage lautet: Welche Gegenstände passen in den Rucksack und wie viel Gewicht können Sie noch einpacken? Diese Frage können Sie leicht beantworten, indem Sie einfach den Rucksack packen und die Gesamtmenge an Gewicht überprüfen. Die eigentliche Herausforderung besteht jedoch darin, vorherzusagen, welche Gegenstände Sie wählen sollten, um das optimale Gewicht zu erzielen. Das ist ein typisches NP-Problem.

Die Frage, die das Millennium-Problem P versus NP stellt, ist also: Kann ein Computer ein NP-Problem schnell und effizient lösen, oder sind diese Probleme grundsätzlich zeitaufwändiger, selbst für einen leistungsstarken Computer? Die Beantwortung dieser Frage könnte die Welt der Computertechnologie revolutionieren.

Wenn sich herausstellt, dass P gleich NP ist, wäre dies ein Durchbruch bei der Lösung vieler schwieriger Probleme, einschließlich der Optimierung des Maschinellen Lernens und der Kryptographie. Es würde sogar bedeuten, dass die Geheimnisse von Wissenschaft und Technologie wie nie zuvor entschlüsselt und unsere Welt durch die Rechenleistung von Computern verbessert werden könnte.

Andererseits würde die Beantwortung der Frage, dass P nicht gleich NP ist, bedeuten, dass es eine fundamentale Grenze für die Computerwelt gibt. Einige Probleme sind einfach zu komplex für einen Computer, um sie schnell und effizient zu lösen.

Das ist der Grund, warum das Millennium-Problem P versus NP so bedeutend und interessant ist. Es ist eine Herausforderung, die die Grenzen der Mathematik und Informatik auf die Probe stellt und uns dabei hilft, unser Wissen zu erweitern und unsere Welt durch die unglaubliche Leistungsfähigkeit von Computern zu verbessern.

Wie wir alle wissen, erobern aktuell die unterschiedlichsten KI-Systeme den Markt. Insbesondere im Hinblick auf das beschriebene Problem, könnte KI der Schlüssel sein. Vielleicht wird es einer KI-Software gelingen, die Annahme P gleich NP zu beweisen. Oder eines der kommenden KI-Modelle selbst, könnte der Beweis dafür sein, dass ein NP Problem durch einen leistungsfähigen Computer genauso schnell und effizient gelöst werden kann, wie ein P Problem.